LIBRO VI
Prop.27: Di tutti i parallelogrammi applicati alla stessa retta e deficienti di figure parallelogrammiche sia simili che poste similmente a quella descritta sulla metà della retta, è massimo quel parallelogrammo che è applicato sulla metà della retta ed è simile al difetto
Dimostrazione
Sia AB una retta e sia secata a metà in C. Sia stato applicato alla retta AB il parallelogrammo AD facendo difetto di una figura parallelogrammica DB descritta sulla metà di AB, cioè, CB: dico che di tutti i parallelogrammi applicati ad AB e che fanno difetto di figure parallelogrammiche simili e similmente poste a DB, AD è la maggiore.
Sia applicato alla retta AB il parallelogrammo AF facendo difetto di una figura parallelogrammica FB simile e similmente posta a DB. Dico che AD è maggiore di AF.
Poiché il parallelogrammo DB è simile al parallelogrammo FB, allora essi sono intorno alla stessa diagonale (Prop.6-26). Si conduca la loro diagonale DB, e si descriva completamente la figura.
Poiché infatto CF è uguale a FE, e FB è in comune, allora CH totale è uguale a KE totale (Prop.1-43). Ma CH è uguale a CG, poiché anche AC è uguale a CB (Prop.1-36). Anche CG è quindi uguale a KE.
Si aggiunga CF ad entrambi. AF totale è quindi uguale allo gnomone LMN, così che il parallelogrammo DB, cioè, AD, è maggiore del parallelogrammo AF.
Di tutti i parallelogrammi applicati alla stessa retta e deficienti di figure parallelogrammiche sia simili che poste similmente a quella descritta sulla metà della retta, è quindi massimo quel parallelogrammo che è applicato sulla metà della retta ed è simile al difetto.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Punto Medio: segna il punto mediio, C, di AB
- Segmento: disegna il segmento CD
- Parallela: completa i parallelogrammi AD e DB
- Punto: segna su DE un punto F
- Segmento: disegna la diagonale DB e prendi su di essa un punto F
- Parallela: disegna la parallela per F ad AB, che interseca in G e H e a CD, che interseca in K e N
Significato della proposizione: partiamo con un parallelogrammo dato AD costruito sulla metà di un segmento AB. Se si costruisce poi un parallelogrammo AF su un segmento AK, con K punto interno di AB e tale che il suo difetto, FB, sia simile ad AD, allora, tra tutti i possibili parallelogrammi AD è il maggiore.
Questa è una proposizione che studia un caso di massimo. Se consideriamo il caso particolare in cui AD è un quadrato, allora tra tutti i rettangoli possibili costruiti su AB che difettano di un quadrato simile a AD, il quadrato AD ha area massima. Osservando le relazioni tra i lati delle figure si pò ricavare la nota relazione che, tra tutti i rettangoli con lo stesso perimetro, il quadrato è quello che ha area massima.