Elementi di Euclide

Prop.18: Se grandezze prese separatamente sono in proporzione, esse sono anche composte in proporzione

Dimostrazione

Siano AE, EB, CF, FD grandezze proporzionali prese separatamente, così che AE sta a EB come CF sta a FD (Def.5-15): dico che sono proporzionali anche composte, cioè, AB sta a BE come CD sta a FD (Def.5-14).

Se infatti CD non sta a DF come AB sta a BE, allora AB sta a BE così come CD sta a una certa grandezza minore di DF o ad una maggiore.

Sia in primo luogo rispetto a una grandezza minore come DG.

E poiché AB sta a BE come CD sta a DG, esse sono grandezze composte in proporzione, così che sono anche grandezze in proporzione prese separatamente (Prop.5-17). Pertanto AE sta a EB come CG sta a GD. Ma è anche stato supposto che AE sta a EB come CF sta a FD. CG sta quindi a GD come CF sta a FD (Prop.5-11). E il primo CG è maggiore del terzo CF, pertanto il secondo GD è maggiore del quarto FD (Prop.5-14). Ma è anche minore, il che è impossibile. Non si dà quindi il caso che AB sta a BE come CD rispetto a una grandezza minore di FD.

Analogamente si può dimostrare che nenache rispetto a una maggiore, quindi sta con FD stessa.

Se quindi grandezze prese separatamente sono in proporzione, esse sono anche composte in proporzione.

• Segmento: disegna i segmenti AB, EB, CF
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FD = CDxEBC/AB
• Punto: segna il punto G sul segmento FD