LIBRO IV
Prop.12: Intorno al cerchio dato circoscrivere un pentagono sia equilatero che equiangolo
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABCDE: intorno al cerchio ABCDE si deve pertanto circoscrivere un pentagono sia equilatero che equiangolo.
Siano stati concepiti punti deglli angoli del pentagono inscritto A, B, C, D, E (Prop.4-11), così che gli archi AB, BC, CD, DE, EA siano uguali. Si conducano GH, HK, KL, LM, MG per A, B, C, D, E tangenti al cerchio (Prop.3-16-Cor). Si prenda il centro F del cerchio ABCDE (Prop.3-1), e si congiungano FB, FK, FC, FL, FD.
E poiché la retta KL è tangente al cerchio ABCDE in C, e FC congiunge il centro F al punto di tangenza C, allora FC è perpendicolare a KL (Prop.3-18). Uno e l'altro degli angoli in C è quindi retto. Per gli stesi motivi gli angoli in B e D sono pure retti.
E poiché l'angolo FCK è retto, il quadrato su FK è quindi uguale alla somma dei quadrati su FC e CK (Prop.1-47). Per gli stessi motivi anche il quadrato su FK è uguale alla somma dei quadrati su FB e BK, così che la somma dei quadrati su FC e CK è uguale alla somma dei quadrati su FB e BK, dei quali il quadrato su FC è uguale al quadrato su FB; il quadrato restante su CK è quindi uguale al quadrato su BK. Pertanto BK è uguale a CK.
E poiché FB è uguale a FC, e FK è in comune, i due lati BF e FK sono uguali ai due lati CF e FK, e la base BK è uguale alla base CK; pertanto l'angolo BFK è uguale all'angolo KFC, e l'angolo BKF è uguale all'angolo FKC (Prop.1-8). L'angolo BFC è quindi doppio dell'angolo KFC, e l'angolo BKC è doppio dell'angolo FKC.
Poiché infatti l'arco AB è uguale all'arco DE, si aggiunga BCD ad entrambi; l'arco totale ABCD è quindi uguale all'arco totale EDCB. E l'angolo AED insiste sull'arco ABCD, e l'angolo BAE sull'arco EDCB (Prop.3-27), pertanto anche l'angolo BAE è uguale all'angolo AED. Per gli stessi motivi anche l'angolo CFD è doppio dell'angolo CFL, e l'angolo DLC è doppio dell'angolo FLC.
Poiché ora l'arco BC è uguale a CD, anche l'angolo BFC è uguale all'angolo CFD (Prop.3-27). E l'angolo BFC è doppio dell'angolo KFC, e l'angolo DFC è doppio dell'angolo LFC; anche l'angolo KFC è quindi uguale all'angolo LFC. Ma anche l'angolo FCK è uguale all'angolo FCL, pertanto FKC e FLC sono due triangoli aventi due angoli uguali a due angoli e un lato uguale a un lato, cioè FC che è comune ad essi; pertanto essi avranno anche i lati restanti uguali ai lati restanti, e l'angolo restante all'angolo restante (Prop.1-26). La retta KC è quindi uguale a CL, e l'angolo FKC è uguale all'angolo FLC.
E poiché KC è uguale a CL, KL è quindi doppio di KC. Per gli stessi motivi si dimostra che anche HK è doppio di BK. E BK è uguale a KC, pertanto anche HK è uguale a KL. Del tutto similmente anche ognuna delle rette HG, GM, ML si può dimostrare uguale ad ognuna delle rette HK e KL; il pentagono GHKLM è quindi equilatero.
Dico ora che è anche equiangolo.
Poiché infatti l'angolo FKC è uguale all'angolo FLC, e l'angolo è stato dimostrato doppio dell'angolo FKC, e l'angolo KLM è doppio dell'angolo FLC, allora anche l'angolo HKL è uguale all'angolo KLM. Analogamente ognuno degli angoli KHG, HGM, GML si può dimostrare essere uguale ad ognuno degli angoli HKL e KLM. I cinque angoli GHK, HKL, KLM, LMG, MGH sono quindi uguali tra loro. Pertanto il pentagono GHKLM è equiangolo. Ed è stato dimostrato anche equilatero, ed è stato circoscritto al cerchio ABCDE.
Intorno al cerchio dato risulta quindi circoscritto un pentagono sia equilatero che equiangolo.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono regolare: disegna il pentagono ABCDE
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABCDE
- Asse: disegna gli assi di due lati che si intersecano nel centro F
- Tangente: disegna le tangenti in A, B, C, D, E che si intersecano in G, H, K, L, M
- Poligono regolare: disegna il pentagono GHKLM circoscritto
Questa costruzione dipende dalla precedente. Prima si inscrive un pentagono regolare in un cerchio, poi si prendono le tangenti al cerchio nei cinque vertici del pentagono inscritto. Prendendo i punti intersezione di tali tangenti si otterrà il pentagono circoscritto. Questo metodo può essere usato per costruire un poligono regolare circoscritto di n-lati partendo dall'analogo poligono regolare inscritto.