LIBRO III
Prop.11: Qualora due cerchi siano tangenti tra loro all'interno, e siano presi i loro centri, la retta congiunta ai loro centri e prolungata cadrà sul contatto comune dei cerchi
Dimostrazione
Siano dati due cerchi ABC e ADE, tangenti tra loro all'interno nel punto A, e del cerchio ABC sia stato preso centro F, di ADE centro G (Prop.3-1): dico che la retta congiunta da G fino a F prolungata cadrà su A.
No infatti, ma se possibilie cada come FGH, e si congiungano AF e AG.
Poiché la somma di AG e GF è maggiore di FA, cioè di FH (Prop.1-20), si sottragga FG da entrambi, il restante AG è quindi maggiore del restante GH.
Ma AG è uguale a GD, anche GD è quindi maggiore di GH, la minore della maggiore, il che è impossibile. La retta congiunta da G fino a Z non cade quindi all'esterno; essa cade pertanto sul punto di contatto A.
Qualora quindi due cerchi siano tangenti tra loro all'interno, e siano presi i loro centri, la retta congiunta ai loro centri e prolungata cadrà sul contatto comune dei cerchi.
La costruzione con GeoGebra:
- strumento Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro F
- strumento Segmento: disegna il raggio FA
- strumento Perpendicolare: disegna la tangente in A perpendicolare a FA
- strumento Punto: traccia un punto sul raggio AF e nascondilo
- strumento Circonferenza: disegna la circonferenza ADE con centro nel punto prima scelto e tangente internamente in A
- strumento Semiretta: disegna la semiretta FD che interseca le due circonferenze in D e H e passa per l'impossibile punto G
- strumento Segmento: disegna il segmento AG
Per sostenere nella dimostrazione che FA è uguale a FH, è necessario che il cerchio ABC sia il cerchio maggiore. Varie conclusioni nella dimostrazione sono basate sulla figura piuttosto che su un rigoroso processo deduttivo.
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.3-13.