LIBRO XIII
Prop.3: Se una retta è secata nel rapporto estremo e medio, allora il quadrato sulla somma del segmento minore e della meta del segmanto maggiore è cinque volte il quadrato sulla metà del segmento maggiore
Dimostrazione
Si sechi una certa retta AB nel rapporto estremo e medio nel punto C e sia AC il segmento maggiore. Si sechi a metà AC in D: dico che il quadrato su BD è cinque volte il quadrato su DC.
Si costruisca il quadrato AE su AB e si tracci completamente e doppiamente la figura (Def.1-46). Poiché AC è doppio di DC, allora il quadrato su AC è quadruplo del quadrato su DC, cioè, RS è quadruplo di FG. E poiché il rettangolo AB per BC è uguale al quadrato su AC, e CE è il rettangolo AB per BC, allora CE è uguale a RS.
Ma RS è quadruplo di FG, pertanto anche CE è quadruplo di FG. Di nuovo, poiché AD è uguale a DC, allora anche HK è uguale a KF. Così che il quadrato su GF è uguale al quadrato su HL. GK è quindi uguale a KL, cioè MN è uguale a NE, così che anche MF è ugualea FE.
Ma MF è uguale a CG, pertanto CG è uguale a FE. Si aggiunga CN ad ognuno, pertanto lo gnomone OPQ è uguale a CE. Ma CE è stato dimostrato quadruplo di GF, pertanto anche lo gnomone OPQ è quadruplo del quadrato su FG. La somma dello gnomone OPQ e del quadrato FG è quindi cinque volte FG.
Ma la somma dello gnomone OPQ e del quadrato FG è il quadrato su DN. E DN è il quadrato su DB, e GF è il quadrato su DC. Il quadrato su DB è quindi cinque volte il quadrato su DC.
.La costruzione con GeoGebra:
- per la divisione del segmento si fa riferimento alla costruzione della Prop.6-30
- Segmento: disegna il segmento AB
- Poligono regolare: disegna il quadrato su AB
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro A e raggio uguale ad AB per la semidifferenza tra la radice di 5 e 1. Tale circonferenza interseca AB in C
- Segmento: disegna AC
- Punto Medio: segna il punto D e disegna il segmento AD
- Poligono regolare: disegna il quadrato AE
- Segmento: disegna la diagonale del quadrato
- Parallela: disegna le parallele per D e C a BE e per AB che intersecano la diagonale in K e
- Parallela: disegna le parallele per K e U al lato AB
- Angolo: disegna l'angolo OPQ
Questo risultato è necessario nella proposizione XIII.16 per mostrare che l'icosaedro è inscritto nella sfera data.