LIBRO XI
Prop.15: Se due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora i piani per esse sono paralleli
Dimostrazione
Due rette che si toccano tra loro AB, BC siano parallele a due rette che si toccano tra loro DE, EF non nello stesso piano: dico che i piani prolungati per AB, BC, DE, EF sono paralleli.
Si conduca BG dal punto B perpendicolare al piano per DE e EF e lo incontri nel punto G (Prop.11-11). Si conduca GH per G parallelo a ED, e GK parallelo a EF (Prop.1-31).
E poiché BG è ortogonale al piano per DE e EF, allora forma angoli retti con tutte le rette che incontra e che sono nel piano per DE e EF (Def.11-3). Ma ognuna delle rette GH e GK la incontrano e sono nel piano per DE e EF, pertanto ognuno degli angoli BGH e BGK è retto. E poiché BA è parallela a GH (Prop. 11-9), allora la somma degli angoli GBA e BGH è uguale a due retti (Prop.1-29).
Ma l'angolo BGH è retto, pertanto anche l'angolo GBA è retto. GB è quindi ad angoli retti con BA. Per gli stessi motivi anche GB è ad angoli retti con BC. Poiché allora la retta GB è posta ad angoli retti con le due rette BA e BC che si secano tra loro, allora anche GB è ad angoli retti con il piano per BA e BC (Prop.11-4).
Ma piani rispetto ai quali una stessa retta è ad angoli retti sono paralleli, pertanto il piano per AB e BC è parallelo al piano per DE e EF (Prop.11-14).
Se quindi due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora i piani per esse sono paralleli.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- Parallela: completa il piano di riferimento
- Traslazione: disegna il secondo piano
- Punto: segna il punto B nel piano superiore
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare BG al piano inferiore
- Segmento: disegna i segmenti BA e BC
- Parallela: disegna i segmenti GH e GK paralleli a BA e BC
- Punto: segna il punto E nel piano inferiore
- Parallela: disegna i segmenti ED e EF paralleli a GH e GK
Questa proposizione non è più usata nei restanti Libri degli Elementi.