LIBRO X

Prop.46: Il lato di una razionale più un'area mediale si divide in un punto soltanto

Dimostrazione

Sia AB il lato di una razionale più un'area mediale divisa in C, così che AC e CB sono incommensurabili in potenza e sia la somma dei quadrati su AC e CB mediale, ma il doppio del rettangolo AC per CB razionale (Prop.10-40): dico che AB non si divide secondo un altro punto.

Se possibile, risulti diviso anche in D, così che AD e DB siano incommensurabili in potenza e la somma dei quadrati su AD e DB sia mediale, ma con il rettangolo da esse contenuto razionale.

E poiché, ciò per cui il doppio del rettangolo AC per CB differisce dal dal doppio del rettangolo AD per DB è pure ciò per cui la somma dei quadrati su AD e DB differisce dalla somma dei quadrati AC e CB, mentre il doppio del rettangolo AC per CB eccede il doppio del rettangolo AD per DB per un'area razionale, allora anche la somma dei quadrati su AD e DB eccede la somma dei quadrati su AC e CB per un'area razionale, pur essendo mediali, il che è impossibile (Prop.10-26).

Pertanto il lato di una razionale più un'area mediale non si divide in diversi punti; si divide quindi in un punto solo.

La costruzione con GeoGebra:
  • Segmento: disegna il segmento AB
  • Punto: disegna i punti C e D su AB

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello