Elementi di Euclide

Prop.20: I numeri minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto; il maggiore il maggiore e il minore il minore

Dimostrazione

Siano CD e EF i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A e B: dico che CD misura A le stesse volte con cui EF misura B.

CD non è infatti parti di A. Se possibile, sia. Anche EF è quindi le stesse parti di B quelle che CD è di A (Prop.7-13). Quante parti di A vi sono quindi in CD, tante parti di B sono anche in EF.

Si divida CD nelle parti di A, cioè CG e GD, e si divida EF nelle parti di B, cioè EH e HF. Allora la molteplicità di CG e GD è uguale alla molteplicità di EH e HF. E poiché i numeri CG e GD sono uguali tra loro, e anche i numeri EH e HF sono uguali tra loro, mentre la molteplicità di CG e GD è uguale alla molteplicità di EH e HF, allora CG sta a EH come GD sta a HF.

Poiché uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, allora CG sta a EH come CD sta a EF (Prop.7-12). CG e EH sono quindi nello stesso rapporto con CD e EF, essendo minore di essi, il che è impossibile, poiché CD e EF sono stati supposti essere i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con essi. CD non è quindi parti di A, è quindi parte (Prop.7-4).

E EF è la stessa parte di B quella che CD è di A; CD misura quindi A le stesse volte con cui EF misura B (Prop.7-13).

Pertanto, i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto; il maggiore il maggiore e il minore il minore.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
• Segmento: disegna i segmenti A, B sulle due rette
• Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento CD = parti di A
• Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento EF = uguali parti di B
• Punto Medio: segna i punti medi G e H dei segmenti CD e EF

Questa proposizione dice che dato un rapporto \(a:b\), se \(c:d\) è lo stesso rapporto e il minimo tra tutti i rapporti con lo stesso rapporto, allora, c divide (misura) a, e d divide b, ma anche, c divide a le stesse volte con cui d divide b.

Questa proposizione affronta la possibilità di ridurre una frazione ai minimi termini, e cioè la minima dentro la classe di equivalenza che rappresenta il rapporto dato.

Un esempio: il rapporto \(49:56\) è lo stesso di \(7:8\), che è anche il minimo (la frazione \(7/8\) è quella ridotta ai minimi termini tra quelle che hanno lo stesso rapporto dato). Pertanto, \(49:7 = 7\), così come \(56:8 = 7\).

Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.