LIBRO VII
Prop.12: Se quanti si voglia numeri sono in proporzione, allora uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti
Dimostrazione
Siano A, B, C, D quanti si voglia numeri in proporzione, così che A sta a B come C sta a D: dico che A sta a B come la somma di A e C sta alla somma di B e D.
Poiché A sta a B come C sta a D, allora A è la stessa parte o parti di B come C lo è di D. La somma di A e C è quindi la stessa parte o parti della somma di B e D quella che A è di B (Prop.7-5, Prop.7-6).
Pertanto A sta a B come la somma di A e C sta alla somma di B e D (Def.7-20).
Se quanti si voglia numeri sono quindi in proporzione, allora uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = BxC/A
In notazione algebrica
\(x_1:y_1 = x_2:y_2 = ... = x_n:y_n\)
allora vale anche
\((x_1+x_2+...+x_n):(y_1+y_2+...+y_n)\)
Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX