LIBRO IV
Prop.2: Nel cerchio dato inscrivere un triangolo equiangolo al triangolo dato
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABC e il triangolo DEF: si deve pertanto inscrivere nel cerchio ABC un triangolo equiangolo al triangolo DEF.
Si conduca GH tangente al cerchio ABC in A (Prop.3-16-Cor). Si costruisca l'angolo HAC uguale all'angolo DEF sulla retta AH e sul punto A di essa, e si costruisca l'angolo GAB uguale all'angolo DFE sulla retta AG e sul punto A su di essa (Prop.1-23). Si congiunga BC.
Poiché dunque una retta AH è tangente al cerchio ABC, e dal punto di tangenza in A è stata condotta oltre nel cerchio la retta AC, allora l'angolo HAC è uguale all'angolo ABC nel segmento alterno del cerchio (Prop.3-32). Ma l'angolo HAC è uguale all'angolo DEF, anche l'angolo ABC è quindi uguale all'angolo DEF.
Per gli stessi motivi anche l'angolo ACB è uguale all'angolo DFE; l'angolo restante BAC è quindi uguale all'angolo restante EDF (Prop.1-32).
Nel cerchio dato ABC risulta quindi inscritto un triangolo equiangolo al triangolo dato.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna il cerchio ABC
- Tangente: disegna la tangente alla circonferenza in A
- strong> Poligono: disegna il triangolo DEF
- Angolo di data ampiezza: disegna l'angolo HAC uguale a DEF, che interseca la circonferenza in B e l'angolo HAB uguale a DFE, che interseca in C
- Segmento: disegna le corde AC, AB, BC
La proposizione è utilizzata nelle proposizioni Prop.4-11 e Prop.4-16 e nel Libro XIII.