Elementi di Euclide

Prop.16: La retta condotta ad angoli retti con il diametro del cerchio da un suo estremo cadrà all'esterno del cerchio, e nel luogo sia tra la retta che la circonferenza non si interpolerà un'altra retta, e l'angolo del semicerchio è maggiore di ogni rettilineo acuto, e il restante è minore

Dimostrazione

Sia dato il cerchio ABC di centro D e diametro AB: dico che la retta condotta da A ad angoli retti con AB da un suo estremo cadrà all'esterno del cerchio.

No infatti, ma se possibile cada all'interno come CA, e si congiunga DC.

Poiché DA è uguale a DC, l'angolo DAC è pure uguale all'angolo ACD (Prop.1-5). Ma l'angolo DAC è retto, pertanto anche l'angolo ACD è retto. Allora, nel triangolo ACD, i due angoli DAC e ACD sono uguali a due angoli retti, il che è impossibile (Prop.1-17). Pertanto la retta condotta dal punto A ad angoli retti a BA non cadrà dentro il cerchio. Analogamente si dimostra che non cade nemmeno sulla circonferenza, pertanto cadrà all'esterno.

Cada come AE: dico ora che nello spazio tra la retta AE e la circonferenza CHA non si interpolerà un'altra retta.

Se infatti possibile, si interpoli come FA. Si conduca DG dal punto D perpendicolare a FA (Prop.1-12).

Poiché l'angolo AGD è retto, e l'angolo DAG è minore di un retto (Prop.1-17), AD è maggiore di DG (Prop.1-19). Ma DA è uguale a DH; DH è quindi maggiore di DG, il minore del maggiore, il che è impossibile. Pertanto non si dà il caso che nello spazio tra la retta e la circonferenza si interpoli un'altra retta.

Dico anche che l'angolo del semicerchio contenuto dalla retta BA e dall'arco CHA è maggiore di ogni altro angolo rettilineo acuto, e il restante, contenuto dalla circonferenza CHA e dalla retta AE è minore di ogni angolo rettilineo acuto.

Se infatti c'è un angolo rettilineo maggiore dell'angolo contenuto dalla retta BA e dall'arco CHA, e un angolo rettilineo minore di quello contenuto dalla circonferenza CHA e dalla retta AE, allora nello spazio tra la circonferenza CHA e la retta AE sarà interpolata una retta tale da formare un angolo compreso da rette maggiore dell'angolo contenuto dall'arco BA e dalla circonferenza CHA, e da un altro angolo contenuto dalle rette minore dell'angolo contenuto dall'arco CHA e dalla retta AE.

Ma una tale retta non può essere interpolata; non si darà quindi il caso che ci sia un angolo acuto compreso da rette maggiore dell'angolo compreso sia dalla retta BA che dall'arco CHA, né un angolo acuto contenuto da rette che è minore dell'angolo contenuto dall'arco CHA e dalla retta AE.

La retta condotta ad angoli retti con il diametro del cerchio da un suo estremo cadrà quindi all'esterno del cerchio, e nel luogo sia tra la retta che la circonferenza non si interpolerà un'altra retta, e l'angolo del semicerchio è maggiore di ogni rettilineo acuto, e il restante è minore.

Corollario: Da questo è pertanto manifesto che la retta condotta ad angoli retti con il diametro del cerchio da un suo estremo è tangente al cerchio.

La costruzione con GeoGebra:

• Circonferenza: disegna la circonferenza di centro D
• Segmento: disegna un diametro AB
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare per A al diametro AB e fissa un punto E
• Segmento: disegna la corda AC e il raggio CD
• Semiretta: disegna la semiretta AF compresa tra AE e la corda AC
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare per D ad AF con piede G e che interseca la cirocnferenza in H

Questa proposizione e il relativo corollario sono usati nei Libri III e IV.