LIBRO X
Prop.32: Trovare due mediali commensurabili in potenza soltanto, contenenti un rettangolo mediale, tali che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato sulla retta commensurabile in lunghezza con la maggiore
Dimostrazione
Siano fissate tre rette razionali A, B, C commensurabili solo in potenza, tali che il quadrato su A, tali che il quadrato su A sia maggiore del quadrato su C per il quadrato su una retta commensurabile con A. Sia il quadrato su D uguale al rettangolo A per B (Prop.10-29).
Allora il quadrato su D è mediale. Anche D è quindi mediale (Prop.10-21).
Sia il rettangolo D per E uguale al rettangolo B per C.
Poiché quindi il rettangolo A per B sta al rettangolo B per C come A sta a C, mentre il quadrato su D è uguale al rettangolo A per B, e il rettangolo D per E è uguale al rettangolo B per C, allora A sta a C come il quadrato su D sta al rettangolo D per E.
Ma il quadrato su D sta al rettangolo D per E come D sta a E, allora A sta a C come D sta a E. Ma A è commensurabile con C soltanto in potenza, anche D è quindi commensurabile con E soltanto in potenza (Prop.10-11). Ma D è mediale, anche E è allora mediale.
E poiché A sta a C come D sta a E, mentre il quadrato su A è maggiore del quadrato su C per il quadrato su una retta commensurabile con A, allora il quadrato su D è maggiore del quadrato su E per il quadrato su una retta commensurabile con D (Prop.10-14).
Dico ora che anche il rettangolo D per E è mediale.
Poiché il rettangolo B per C è uguale al rettangolo D per E, mentre il rettangolo B per C è mediale, allora anche il rettangolo D per E è mediale (Prop.10-21).
Risultano quindi trovate due rette mediali D, E, commensurabili soltanto in potenza, e contenenti un rettangolo mediale, tale che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta commensurabile con la maggiore.
Del tutto similmente si può dimostrare che il quadrato su D supera il quadrato su E per il quadrato su una retta incommensurabile con D, quando il quadrato su A è maggiore del quadrato su C per il quadrato su una retta incommensurabile con A (Prop.10-30).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette su cui dispore i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D = sqrt(AxB)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento E = CxD/B