LIBRO X
Prop.30: Trovare due rette razionali commensurabili in potenza soltanto tali che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta incommensurabtle in lunghezza con la maggiore
Dimostrazione
Siano fissate una retta razionale AB e due numeri quadrati CE e ED tali che la loro somma CD non è quadrato (Prop.10-29-Lemma2). Si tracci il semicerchio AFB su AB. Sia fatto in modo che DC sta a CE come il quadrato su BA sta al quadrato su AF, e si congiunga FB (Prop.10-6-Cor).
Del tutto similmente al caso precedente, si può dimostrare che BA e AF sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. Poiché DC sta a CE come il quadrato su BA sta al quadrato su AF (Prop.3-31), allora, convertendo (Prop.5-19-Cor), CD sta a DE come il quadrato su AB sta al quadrato su BF.
Ma CD non ha con DE il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, pertanto nemmeno il quadrato su AB ha con il quadrato su BF il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. AB è quindi incommensurabile in lunghezza con BF (Prop.10-9).
Ma il quadrato su AB è maggiore del quadrato su AF per il quadrato su FB incommensurabile con AB. Pertanto AB e AF sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e il quadrato su AB è maggiore del quadrato su AF per il quadrato su FB incommensurabile in lunghezza con AB.
AB e AF sono quindi due rette razionali commensurabili in potenza soltanto tali che il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta incommensurabtle in lunghezza con la maggiore.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB CE, ED
- Semicirconferenza per due punti: disegna il semicerchio di diametro AB
- Perpendicolare: completa il rettangolo BD
- Circonferenza di dato raggio: disegna AF = sqrt(CExABxAB/DC)
- Segmento: disegna il segmento FB