Elementi di Euclide

Prop. 44: Applicare alla retta data, nell'angolo rettilineo dato, un parallelogrammo uguale al triangolo dato

Dimostrazione

Sia data la retta AB, il triangolo C e l'angolo rettilineo D: si deve pertanto applicare alla retta data AB, in un angolo uguale a D, un parallelogrammo uguale al triangolo dato C.

Si costruisca il parallelogrammo BEFG uguale triangolo C nell'angolo EBG che è uguale a D (Prop.42); e si ponga così da essere BE in linea retta con AB. Si conduca oltre FG fino a H, e si conduca AH per A e parallela a una o all'altra delle BG o EF (Prop.31). Si congiunga HB.

Poiché la retta HF incide sulle parallele AH e EF, la somma degli angoli AHF e HFE è quindi uguale a due angoli retti (Prop.1-29). Pertanto la somma degli angoli BHG e GFE è minore di due angoli retti. E le rette prolungate illimitatamente da angoli minori di due retti si incontrano, HB e FE, se prolungate, quindi si incontrano.

Si prolunghino e si incontrino in K. Si conduca KL per il punto K e parallela a una o all'altra delle EA o FH (Prop.31). Si prolunghino HA e GB fino ai punti L e M.

HLKF è quindi un parallelogrammo, e HK è la sua diagonale; AG e ME sono parallelogrammi e LB e BF sono i cosiddetti completamenti intorno a HK (Prop.1-43). LB è quindi uguale a BF.

Ma BF è uguale al triangolo C, LB è quindi anche uguale a C. Poiché l'angolo GBE è uguale all'angolo ABM (Prop.1-15), mentre l'angolo GBE è uguale a D, l'angolo ABM è quindi uguale all'angolo D.

Risulta quindi applicato alla retta data AB, nell'angolo rettilineo dato ABM, che è uguale a D, un parallelogrammo AB uguale al triangolo dato C.

La costruzione con GeoGebra

• Retta: disegna le retta AB e su di essa prendi un punto E
• Poligono: disegna il triangolo C
• Segmento: disegna due semirette in modo da formare i lati dell'angolo D
• Perpendicolare: costruisci un'altezza del triangolo C
• struemnto Segmento: disegna il segmento BE
• Angolo di data ampiezza: disegna l'angolo EBG uguale a D
• Semiretta: disegna la retta per B che forma il secondo lato dell'angolo
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare per E alla retta AB
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro E e raggio uguale al rapporto tra il prodotto della base e dell'altezza del triangolo e il doppio del lato BE; questa circonferenza incontra la precedente perpendicolare in un punto
• Parallela: disegna dal punto precedentemente trovato la parallela a BE che incontra il secondo lato dell'angolo in G
• Parallela: disegna dal punto E la parallela a BG che incontra in F la parallela a EB e da A la parallela a FE che incontra in H la retta FG
• Poligono: disegna il parallelogrammo EFGB
• Semiretta: disegna la semiretta HB, che incontra la retta FE in K
• Parallela: dal punto K disegna la parallela a BE che incentra HB in M e AH in L

Lo scopo di questa proposizione è di trovare un parallelogrammo equivalente di forma diversa, cioè dal parallelogrammo EBGK al DFKH, i due completamenti.

Questa trasformazione è usata nella prossima proposizione.