LIBRO I
Prop. 30: Rette parallele alla stessa retta sono anche parallele tra loro
Dimostrazione
Siano AB e CD entrambe parallele alla stessa retta EF: dico che anche AB è parallela a CD.
Incida infatti su di esse una retta GK.
E poiché la retta GK incide sulle rette parallele AB e EF, allora l'angolo AGK è uguale all'angolo GHF (Prop.1-29).
Di nuovo, poiché la retta GK incide sulle rette parallele EF e CD, allora l'angolo GHF è uguale all'angolo GKD (Prop.1-29).
Ma l'angolo AGK è stato dimostrato essere uguale all'angolo GHF. L'angolo AGK è quindi uguale all'angolo GKD, e sono alterni. Pertanto AB è parallela a CD.
Rette parallele alla stessa retta sono anche parallele tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Rette: disegna la retta EF
- Parallela: disegna la retta AB parallela a EF e la retta CD parallela a EF
- Retta: disegna la retta trasversale EF che interseca le parallele rispettivamente in G, H e K
L'enunciato di questa proposizione si configura come la proprietà transitiva della relazione di parallelismo tra rette, che è, nel linguaggio odierno, una relazione di equivalenza, perché possiede, oltre alla proprietà transitiva, anche le proprietà riflessiva e simmetrica (ogni retta è parallela a se stessa e se la retta a è parallela alla retta b, allora la retta b è parallela alla retta a.
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.1-45.