LIBRO I
Prop. 20: In ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del restante
Dimostrazione
Sia dato un triangolo ABC: dico che nel triangolo ABC la somma di due lati qualsiasi è maggiore del rimanente, cioè, la somma di BA e AC è maggiore di BC, la somma di AB e BC è maggiore di AC, e la somma di BC e CA è maggiore di AB.
Si conduca oltre BA fino al punto D, e si prenda DA uguale a CA (Prop.1-3). Si congiunga DC (Post1).
Poiché DA è uguale a AC, l'angolo ADC è quindi uguale all'angolo ACD (Prop.1-5). L'angolo BCD è pertanto maggiore dell'angolo ADC. E poiché DCB è un triangolo avente l'angolo BCD maggiore dell'angolo BDC, e il lato opposto all'angolo maggiore è maggiore (Prop.1-19), allora DB è maggiore di BC.
Ma DA è uguale a AC; la somma di BA e AC è quindi maggiore di BC. Analogamente si dimostra che la somma di AB e BC è pure maggiore di CA, e la somma di BC e CA è maggiore di AB.
Ed è stato dimostrato che neanche è uguale. AC è quindi maggiore di AB.
In ogni triangolo la somma di due lati è quindi maggiore del restante
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: disegna il punto A
- Slider: disegna tre slider che rappresentano le lunghezze variabili dei lati
- Segmento di lunghezza data: a partire da A disegna il segmento AB
- Segmento di lunghezza data: a partire da B disegna il segmento BC
- Segmento di lunghezza data: a partire da C disegna il segmento CD
- muovere i segmenti e modificarne la lunghezza con gli slider, per cercare di completare il triangolo
Questa proposizione è nota come "disuguaglianza triangolare". Questa verrà migliorata, circa due millenni dopo, dal teorema di Eulero, matematico svizzero del XVIII secolo, che stabilisce l'uguaglianza del rapporto tra ogni lato e il seno del suo angolo opposto; tale rapporto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta.
Questa proposizione è utilizzata nella prossima proposizione.