LIBRO VII
Prop.26: Se due numeri sono primi rispetto a due numeri, entrambi ad ognuno, anche i loro prodotti sono primi tra loro
Dimostrazione
Siano A e B due numeri primi rispetto a due numeri C e D entrambi rispetto a uno e all'altro, e A moltiplicato per B produca E e C moltiplicato per D produca F: dico che anche E e F sono primi tra loro.
Poiché ciascuno dei numeri A e B è primo rispetto a C, allora anche il prodotto tra A e B è primo rispetto a C. Ma il prodotto tra A e B è E, pertanto E e C sono primi tra loro. Per gli stessi motivi E e D sono pure primi tra loro. Ciascuno dei numeri C e D è quindi primo rispetto ad E (Prop.7-24).
Anche il prodotto tra C e D è quindi primo rispetto ad E. Ma il prodotto tra C e D è F. Pertanto E ed F sono primi tra loro (Prop.7-24).
Pertanto, se due numeri sono primi rispetto a due numeri, entrambi ad ognuno, allora anche i loro prodotti sono primi tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento E = AxB e il segmento F = CxD
Questa proposizione è utilizzata nella dimostrazione della proposizione successiva.