LIBRO VII
Prop.18: Se due numeri moltiplicando un certo numero formano certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto di quelli che moltiplicano
Dimostrazione
Due numeri A e B moltiplicati per un certo numero C producano D ed E: dico che A sta a B come D sta ad E.
Poiché A moltiplicato C produce D, allora C moltiplicato per A produce D. Per gli stessi motivi anche C moltiplicato per B produce E (Prop.7-16).
Pertanto, il numero C moltiplicato per i due numeri A e B produce D ed E. A sta quindi a B come D sta ad E (Prop.7-17).
Se quindi due numeri moltiplicando un certo numero formano certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto di quelli che moltiplicano.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = AxC e il segmento E = BxC
Laddove la proposizione precedente stabiliva che \(a:b = ma:mb\)
\(a:b = am:bm\)
Insieme mostrano che l'ordine dei fattori è irrilevante; quanto affermato nella nota proprietà commutativa della molitlicazione.
Questa proposizione è utilizzata nella proposizione successiva e a volte nel Libro VIII.