LIBRO VI
Prop.10: Secare la retta insecata data similmente a quella secata data
Dimostrazione
Sia AB la retta insecata data, e AC la retta secata nei punti D e E, e siano poste così da contenere un angolo come capita. Si congiunga CB, e si traccino DF e EG per D e E parallele a BC, e si conduca una retta DHK per D parallela a AB (Prop.1-31).
Una e l'altra delle figure FH, HB sono quindi un parallelogrammo. DH è quindi uguale a FG e HK è uguale a GB (Prop.1-34).
E poiché la retta EH è parallela al lato CK del triangolo DCK, in proporzione quindi, DE sta a EC come DH sta a HK (Prop.6-2). Ma DH è uguale a FG, e HK è uguale a GB, DE sta quindi a EC come FG sta a GB (Prop.5-7).
Di nuovo, poiché DF è parallela al lato EG del triangolo AEG, in proporzione quindi, AD sta a DE come AF sta a FG (Prop.6-2). Ma è anche stato dimostrato che DE sta a EC come FG sta a GB, pertanto DE sta a EC come FG sta a GB, e AD sta a DE come AF sta a FG.
La retta insecata data risulta quindi secata similmente alla retta secata data AC.
La costruzione con GeoGebra:
- Semiretta: disegna le semirette AB e AC di origine comune A, formanti un angolo qualsiasi
- Punto: traccia su Ac due punti D e E
- Segmento: congiungi BC
- Parallela: traccia la parallela a BC per D e E che intersecano la semiretta AB in F e G e la parallela per D alla semiretta AB che incontra le precedenti parallele in H e K
Questa proposizione appare come una generalizzazione della precedente Prop.6-9. In questo caso una linea viene divisa in due parti, il cui rapporto è quello dato tra due altre linee.
Questa costruzione non è più usata, anche se rappresenta una costruzione base nella geometria euclidea.