LIBRO V
Prop.11: I rapporti che sono gli stessi dello stesso rapporto, sono gli stessi anche tra loro
Dimostrazione
Stia A a B come C a D, e stia C a D come E a F: dico che A sta a B come E sta a F.
Si prendano infatti gli equimultipli G, H, K di A, C, E, e se ne prendano altri, come capita, L, M, N di B, D, F.
E poiché A sta a B come C sta a D, e risultano presi di A e C equimultipli G e H, e di B e D altri, come capita, equimultipli L e M; se quindi G eccede L, anche H eccede M; se è uguale, è uguale; e se minore, minore (Def.5-5).
Di nuovo, poiché C sta a D come E sta a F, e risultano presi di C ed E equimultipli H e K, e di D e F altri, come capita, equimultipli M e N; se quindi H eccede M, anche K eccede N; se è uguale, è uguale; e se minore, minore.
Ma se H eccedeva M, anche G eccedeva L; se era uguale, era uguale; e se minore, minore, così che, se G eccede L, anche K eccede N; se è uguale, è uguale; e se minore, minore (Def.5-5).
G e K sono equimultipli di A ed E, mentre L e N sono altri, come capita, equimultipli di B e F; pertanto A sta a B come E sta a F (Def.5-5).
I rapporti che sono gli stessi dello stesso rapporto, sono quindi gli stessi anche tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, E
- Segmento di lunghezza data: disegna i segmenti D = BC/A e F=DE/C
- Circonferenza: disegna le circonferenze avente come centro G, H, K, e raggio due volte rispettivamente i segmenti A, C, E e le circonferenze avente come centro L, M, N e raggio due volte rispettivamente i segmenti B, D, F
Questa proposizione esprime la transitività della relazione nel caso di rapporti.
se \(a:b = c:d\) e \(c:d = e:f\) allora \(a:b = e:f\)
Questa proposizione è usata con frequenza nelle dimostrazioni riguardanti rapporti.