LIBRO XII
Prop.6: Le piramidi che sono sotto la stessa altezza con basi poligonali stanno tra loro come le basi
Dimostrazione
Siano piramidi sotto la stessa altezza e aventi come basi i poligoni ABCDE e FGHKL e siano M, N i vertici: dico che la base ABCDE sta alla base FGHKL come la piramide ABCDEM sta alla piramide FGHKLN.
Si congiungano AC, AD, FH, FK. Poiché dunque ABCM e ACDM sono due piramidi con basi triangolari e sotto la stessa altezza, allora esse stanno tra loro come le rispettive basi (Prop.12-5). La base ABC sta quindi alla base ACD come la piramide ABCM sta alla piramide ACDM. E, componendo (Prop.5-18), la base ABCD sta alla base ACD come la piramide ABCDM sta alla piramide ACDM.
Ma la base ACD sta alla base ADE come la piramide ACDM sta alla piramide ADEM (Prop.12-5). Pertanto, tramile uguale (Prop.5-22), la base ABCD sta alla base ADE come la piramide ABCDM sta alla piramide ADEM. E di nuovo, componendo, la base ABCDE sta alla base ADE come la piramide ABCDEM sta alla piramide ADEM. Del tutto similmente si dimostra che la base FGHKL sta alla base FGH come la piramide FGHKLN sta alla piramide FGHN.
E poiché ADEM e FGHN sono due piramidi con basi triangolari e sotto la stessa altezza, allora la base ADE sta alla base FGH come la piramide ADEM sta alla piramide FGHN. Ma la base ADE sta alla base ABCDE come la piramide ADEM sta alla piramide ABCDEM. Pertanto, tramite uguale, la base ABCDE sta alla base FGH come la piramide ABCDEM sta alla piramide FGHN.
Ma inoltre la base FGH sta alla base FGHKL come la piramide FGHN sta alla piramide FGHKLN. Pertanto, tramite uguale, anche la base ABCDE sta alla base FGHKL come la piramide ABCDEM sta alla piramide FGHKLN.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il poligono di base ABCDE
- Punto: segna il vertice M
- Segmento: disegna i segmenti come nella figura
- ripeti la costruzione per la seconda piramide
Non si richiede che le basi di queste piramidi siano simili; inoltre, non si specifica nemmeno che i poligoni abbiano lo stesso numero di lati.