LIBRO XII
Prop.4: Se vi sono due piramidi sotto la stessa altezza con basi triangolari, e ognuna di esse è divisa in due due piramidi uguali tra loro e simili alla totale, e in due prismi uguali, allora la base di una piramide sta alla base dell'altra piramide comme tutti i prismi in una sola piramide stanno a tutti i prismi equimolteplici nell'altra piramide
Dimostrazione
Siano ABC, DEF due piramidi sotto la stessa altezza e aventi basi triangolari e siano G, H i loro vertici e l'una e l'altra di esse sia divisa in due piramidi uguali tra loro e simili a quella totale e in due prismi uguali: dico che la base ABC sta alla base DEF come tutti i prismi nella piramide ABCG stanno a tutti i prismi, uguali in molteplicità, nella piramide DEFH.
Poiché BO è uguale a OC, e AL è uguale a LC, allora LO è parallelo ad AB, e il triangolo ABC è simile al triangolo LOC. Per gli stessi motivi anche il triangolo DEF è simile al triangolo RVF. E poiché BC è doppio di CO, e EF è doppio di FV, allora BC sta a CO come EF sta a FV.
E su BC e CO risultano descritte figure rettilinee simili e similmente poste ABC e LOC, e su EF e FV le figure similie similmente poste DEF e RVF, allora il triangolo ABC sta al triangolo LOC come il triangolo DEF sta al triangolo RVF (Prop.6-22). Pertanto, alternando (Prop.5-16), il triangolo ABC sta al triangolo DEF come il triangolo LOC sta al triangolo RVF. Ma il triangolo LOC sta al triangolo RVF come il prisma, la cui base è il triangolo LOC e PMN l'opposta, sta al prisma, la cui base è il triangolo RVF e STU l'opposta.
Il triangolo ABC sta quindi al triangolo DEF come il prisma, la cui base è il triangolo LOC e PMN l'opposta, sta al prisma, la cui base è il triangolo RVF e STU l'opposta. Ma i detti prismi stanno tra loro come il prisma, la cui base è il parallelogrammo KBOL e la retta PM l'opposta, sta al prisma, la cui base è il parallelogrammo QEVR e la retta ST l'opposta (Prop.11-39).
I due prismi quindi, quello avente per base il parallelogrammo KBOL e PM opposta, e quello avente per base il triangolo LOC e PMN opposta, stanno ai prismi aventi come base QEVR e la retta ST opposta e il triangolo RVF come base e STU l'oposta nello stesso rapporto (Prop.5-12). La base ABC sta quindi alla base DEF come i detti due prismi stanno ai detti due prismi.
E allo stesso modo, se le piramidi PMNG e STUH risultano divise in due prismi e due piramidi, allora la base PMN sta alla base STU come i due prismi nella piramide PMNG stanno ai due prismi nella piramide STUH. Ma la base PMN sta alla base STU come la base ABC sta alla base DEF, i triangoli PMN e STU sono infatti uguali rispettivamente ai triangoli LOC e RVF.
La base ABC sta quindi alla base DEF come i quattro prismi stanno ai quattro prismi. E allo stesso modo, se risultano divise le rimanenti piramidi in due piramidi e due prismi, allora la base ABC sta alla base DEF come tutti i prismi nella piramide ABCG stanno a tutti i prismi, uguali in molteplicità, nella piramide DEFH.
Lemma: Ma, come il triangolo LOC sta al triangolo RVF così il prisma con base il triangolo LOC e PMN l'opposta sta al prisma con base il triangolo RVF e STU l'opposta, va dimostrato così.
Nella stessa figura si conducano le perpendicolari da G, H ai piani ABC, DEF. Queste sono, naturalmente, uguali poiché le piramidi sono supposte sotto la stessa altezza (Prop.11-11). E poiché le due rette GC e la perpendicolare da G sono secate dai piani paralleli ABC, PMN, allora esse sono secate nello stesso rapporto (Prop.11-17).
E GC è secata a metà dal piano PMN in N, pertanto anche la perpendicolare da G al piano ABC è secata a metà dal piano PMN. Per gli stessi motivi anche la perpendicolare da H al piano DEF è secata a metà dal piano STU. E le perpendicolari da G e H ai piani ABC e DEF sono uguali, pertanto anche le perpendicolari dai triangoli PMN e STU ai piani ABC e DEF sono uguali.
I prismi con i triangoli LOC e RVF come basi, e PMN e STU come opposte, sono di uguale altezza. Così che anche i solidi parallelepipedi descritti dai detti prismi sono di uguale altezza e stanno uno all'altro come le loro basi (Prop.11-32). Le loro metà, cioè i detti prismi, stanno uno all'altro come la base LOC sta alla base RVF (Prop.11-28).
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo di base ABC
- Punto: segna il vertice D
- Punto Medio: disegna i punti medi di tutti gli spigoli della piramide
- Segmento: disegna i segmenti come nella figura