LIBRO X
Lemma: Se vi sono due rette, allora la prima sta alla seconda come il quadrato sulla prima sta al rettangolo contenuto dalle due rette
Dimostrazione:
Siano FE, EG due rette: dico che FE sta a EG come il quadrato su FE sta al rettangolo FE per EG.
Si descriva il quadrato DF su FE, e si completi GD. Poiché allora FE sta a EG come FD sta a DG, e FD è il quadrato su FE, e DG il rettangolo DE per EG, cioè, il rettangolo FE per EG, allora FE sta a EG come il quadrato su FE sta al rettangolo FE per EG. Analogamente il rettangolo GE per EF sta al quadrato su EF, cioè GD sta FD così come GE sta a EF.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i due segmenti FE, FG allineati
- Poligono regolare: disegna il quadrato AD di lato FE
- Parallela: disegna la parallela a FE passante per D e a ED passante per G
- Poligono: disegna il rettangolo ED per EG
Prop.22: Il quadrato su una mediale, se applicato ad una retta razionale, produce come larghezza una retta razionale e incommensurabile in lunghezza con quella a cui è applicato
Dimostrazione
Sia una mediale A e una razionale CB, e sia applicata a BC un'area rettangolare BD uguale al quadrato su A, che produce CD come larghezza: dico che CD è razionale e incommensurabile in lunghezza con CB.
Poiché A è mediale, il quadrato su di essa è uguale a un'area rettangolare contenuta da rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-21). Sia GF il quadrato su di essa. Ma il quadrato su di essa è anche uguale a BD, pertanto BD è uguale a GF.
Ma è anche equiangolo ad essa, e in parallelogrammi uguali e equiangoli i lati attorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, pertanto, BC sta a EG come EF sta a CD (Prop.6-14). Il quadrato su BC sta quindi al quadrato su EG come il quadrato su EF sta al quadrato su CD (Prop.6-22).
Ma il quadrato su CB è commensurabile con il quadrato su EG, ognuna di queste rette è infatti razionale, pertanto anche il quadrato su EF è commensurabile con il quadrato su CD (Prop.10-11). Ma il quadrato su EF è razionale, pertanto anche il quadrato su CD è razionale. CD è quindi razionale (Def.10-4).
E poiché EF è incommensurabile in lunghezza con EG, essi sono infatti commensurabili solo in potenza, mentre EF sta a EG come il quadrato su EF sta al rettangolo FE per EG, allora il quadrato su EF è incommensurabile con il rettangolo FE per EG (Prop.10-11).
Ma il quadrato su CD è commensurabile con il quadrato su EF, le rette sono infatti razionali in potenza, e il rettangolo DC per CB è commensurabile con il rettangolo FE per EG, è infatti uguale al quadrato su A, allora il quadrato su CD è incommensurabile con il rettangolo DC per CB (Prop.10-13).
Ma il quadrato su CD sta al rettangolo DC per CB come DC sta a CB, pertanto DC è incommensurabile in lunghezza con CB (Prop.10-11). CD è quindi razionale e incommensurabile in lunghezza con CB.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, BC, GE
- Circonferenza di dato raggio: disegna la larghezza del rettangolo CD = AxA/BC
- Perpendicolare: completa il rettangolo BD
- Circonferenza di dato raggio: disegna la larghezza del rettangolo GF = BCxCD/GE
- Perpendicolare: completa il rettangolo GF
Questa proposizione trova numerose applicazioni nel Libro X.