LIBRO X
Prop.15: Se due grandezze commensurabili sono sommate, allora anche quella totale è commensurabile con ognuna di esse; e, se quella totale è commensurabile con ognuna di esse, allora anche le grandezze in origine sono commensurabili
Dimostrazione
Siano composte insieme due grandezze commensurabili AB, BC: dico che anche AC totale è commensurabile con una e l'altra delle AB, BC.
Poiché AB e BC sono commensurabili, una certa grandezza D le misura. Poiché allora D misura AB e BC, misura quindi anche AC totale. Ma misura anche AB e BC, pertanto D misura AB, BC, AC. Allora AC è commensurabile con ognuna delle grandezze AB, BC (Def.10-1).
Ora sia AC commensurabile con AB: dico che anche AB e BC sono commensurabili.
Poiché AC e AB sono commensurabili, una certa grandezza D le misura. Poiché allora D misura CA e AB, allora misura anche la restante BC. Ma misura anche AB, pertanto D misura AB e BC. AB e BC sono quindi commensurabili (Def.10-1).
Se quindi due grandezze commensurabili sono sommate, allora anche quella totale è commensurabile con ognuna di esse; e, se quella totale è commensurabile con ognuna di esse, allora anche le grandezze in origine sono commensurabili.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i due segmenti AC e D
- Punto: traccia il punto B appartenente al segmento AC
Questa proposizione esprime la proprietà fondamentale della somma e differenza di due grandezze commensurabili ed è ampiamente usata nel Libro X e anche nel Libro XIII.