Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VIII

 

PROPOSIZIONE 2

Prop.2: Trovare numeri minimi, quanti uno prescriva, in proporzione continua, che sono in un rapporto dato
Dimostrazione
 

Sia il rapporto dato in numeri minimi quello tra A e B: si deve pertanto trovare numeri mimimi in proporzione continua, quanti uno prescriva, nel rapporto tra A e B.

Quattro siano i prescritti. A moltiplicato per se stesso produce C, e moltiplicato per B produce D. B moltiplicato per se stesso produce E. Anche A moltiplicato per C, D, E produce F, G, H, e B moltiplicato per E produce K.

E poiché A moltiplicato per se stesso produce C, e moltiplicato per B produce D, allora A sta a B come C sta a D (Prop.7-17). Di nuovo, poiché A moltiplicato per B produce D, e B moltiplicato per se stesso produce E, allora i numeri A e B moltiplicati per B producono rispettivamente i numeri D ed E. Pertanto A sta a B come D sta a E. Ma A sta a B come C sta a D, pertanto C sta a D come D sta ad E (Prop.7-18).

E poiché A moltiplicato per C e D produce F e G, allora C sta a D come F sta a G (Prop.7-17). Ma C sta a D come A sta a B, pertanto A sta a B come F sta a G. Di nuovo, poiché A moltiplicato per D ed E produce G e H, allora D sta ad E come G sta ad H. Ma D sta ad E come A sta a B. Pertanto A sta a B come G sta ad H (Prop.7-17).

E poiché A e B moltiplicati per E producono H e K, allora A sta a B come H sta a K. Ma A sta a B come F sta a G, e come G sta ad H. Pertanto F sta a G come G sta ad H, e come H sta a K (Prop.7-18). Pertanto C, D, E, ed F, G, H, e K sono proporzionali nel rapporto tra A e B.

Dico ora che essi sono anche i numeri minimi.

Poiché A e B sono i minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto, e i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto sono primi tra loro, allora A e B sono primi tra loro (Prop.7-22). E i numeri A e B moltiplicati per se stessi producono rispettivamente i numeri C ed E, e moltiplicati per i numeri C ed E producono rispettivamente i numeri F e K, allora C ed E e F e K sono rispettivamente primi tra loro (Prop.7-27).

E qualora siano quanti si voglia numeri tra loro in proporzione continua, e i loro estremi siano primi tra loro, allora essi sono i minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto. Pertanto C, D, E e F, G, H e K sono i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto di A con B (Prop.8-1).

   
Corollario:
  Se tre numeri in proporzione continua sono i minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto, allora gli estremi sono quadrati, e, se sono quattro numeri, cubi.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A e B
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = AxA; D = AxB; E = BxB; F = AxC; G = AxD; H = AxE; K = BxE

 

Si tratta di costruire n numeri in proporzione continua che rappresentano i minimi termini in un rapporto assegnato. Se il rapporto è a:b e la frazione è ai minimi termini, allora i numeri in proporzione continua sono

an-1, an-2b, an-3b2, ..., a1bn-2, bn-1

Questa proposizione e il corollario sono usati in parecchie dimostrazioni del Libro VIII e del Libro IX.