Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 7

Prop.7: Se un numero è quella parte di un numero che un numero sottratto è di un numero sottratto, anche il restante è la stessa parte del restante come il totale del totale
Dimostrazione
 

Sia il numero AB parte del numero CD, quella che un sottratto AE è di un sottratto CF: dico che anche il restante EB è la stessa parte del restante FD quella che AB totale è di CD totale.

Sia EB la stessa parte di CG quella che AE è di CF.

E poiché EB è la stessa parte di CG quella che AE è di CF, allora AB è la stessa parte di GF quella che AE è di CF (Prop.7-5). Ma, è stato supposto che AB è la stessa parte di CD quella che AE è di CF; AB è quindi la stessa parte di CD quella che è di GF. Pertanto GF è uguale a CD.

Si sottragga CF da ognuno. Allora GC restante è uguale a FD restante. e poiché EB è la stessa parte di GC quella che AE è di CF, e GC è uguale a FD, quindi EB è la stessa parte di FD quella che AE è di CF. Ma AB è la stessa parte di CD quella che AE è di CF; il restante EB è quindi la stessa parte del restante FD quella che AB ttoale è di CD totale.

  Se un numero è quindi quella parte di un numero che un numero sottratto è di un numero sottratto, anche il restante è la stessa parte del restante come il totale del totale.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette sulle quali collocare i segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti AB e CE sulle due diverse rette
  3. strumento Punto: segna un punto E interno ad AB
  4. strumento Circonferenza di dato raggio: individua il punto F su CD tale che CF = CDxAE/AB e il segmento CG= EBxCF/AE

 

In notazione algebrica,

se a = b/n e d = e/n, allora a - d = (b - e)/n.

Questa proposizione è utilizzata nella (Prop.7-11).