Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 6

Prop.6: Se un numero è parti di un numero, e un altro è le stesse parti di un altro, anche la somma è la stessa parte della somma come uno solo di essi con uno solo di essi
Dimostrazione
 

Sia il numero AB parti del numero C, e un altro numero DE le stessi parti di un altro numero F come AB lo è di C: dico che anche la somma di AB e DE è le stesse parti della somma di C e F come AB lo è di C.

Poiché quante parti è AB di C, altrettante parti è anche DE di F; quante parti di C vi sono quindi in AB altrettanti parti di F sono anche in DE.

Divido AB nelle parti di C, cioè AG e GB, e divido DE nelle parti di F, cioè DH e HE. Allora la molteplicità di AG e GB è uguale alla molteplicità di DH e HE. E poiché DH è la stessa parte di F come quella di AG lo è di C, allora la somma di AG e DH è la stessa parte della somma di C e F come quella di AG lo è di C. Per gli stessi motivi, la somma di GB e HE è la stessa parte della somma di C e F come GB lo è di C (Prop.7-5).

Pertanto la somma di AB e DE è la stessa parte della somma di C e F come lo AB di C.

  Se un numero è quindi parti di un numero, e un altro è le stesse parti di un altro, anche la somma è la stessa parte della somma come uno solo di essi con uno solo di essi.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i quattro segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti C e F
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento AB = 2C/3 e il segmento DB = 2F/3
  4. strumento Punto Medio: segna i punti medi dei segmenti AB e DE

 

In notazione algebrica,

se a = (m/n)b e d = (m/n)e allora a + d = (m/n)(b + e).

Sotto forma di equazione,

(m/n)b + (m/n)e = (m/n)(b + e).

Questa proposizione è utilizzata nella (Prop.7-9).