Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 5

Prop.5: Se un numero è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, messo insieme di messo insieme sarà la stessa parte che uno solo di uno solo
Dimostrazione
 

Sia il numero A una parte di BC, e un altro numero D la stessa parte di un altro numero EF come A di BC: dico che anche la somma di A e D sta a alla stessa parte della somma di BC e EF come A sta a BC.

Poiché, qualunque parte A è di BC, anche D è la stessa parte di EF, pertanto, quanti numeri vi sono in BC uguali ad A, tanti ve ne sono anche in EF uguali a D. Si divida BC in BG e GC uguali ad A, e EF nei numeri EG e GF uguali a D. Allora la moltiplicità di BG e GC è uguale alla molteplicità di EH e HF.

E poiché BG è uguale ad A, e EH è uguale a D, allora anche la somma di BG e EH è uguale alla somma di A e D. Per gli stessi motivi anche la somma di GC e HF è uguale alla somma di A e D.

Quanti numeri sono quindi in BC uguali ad A, tanti sono anche in BC e EF uguali ad A e D. Pertanto, la somma di BC e EF è lo stesso multiplo della somma di A e D come BC lo è di A. La somma di A e D è pertanto la stessa parte della somma di BC ed EF come A di BC.

  Se un numero quindi è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, messo insieme di messo insieme sarà la stessa parte che uno solo di uno solo.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i quattro segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A e D
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento BC = 2A e il segmento EF = 2D

 

Questa proposizione affronta la validità della proprietà distributiva della divisione e moltiplicazione rispetto all'addizione e sottrazione. In questo caso la divisione è distribuita sull'addizione. In notazione algebrica,

se a = b/n e d = e/n, allora a + d = (b + e)/n.

Sotto forma di equazione, si scrive

b/n + e/n = (b + e)/n

Questa proposizione è utilizzata nelle dimostrazioni delle successive cinque.