Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 39

Prop.39 Trovare il numero che, essendo minimo, ha le parti date
Dimostrazione
 

Siano A, B, C le parti date: si deve pertanto trovare un numero, che essendo minimo, avrà le parti A, B, C.

Siano D, E, F i numeri omonimi alle parti A, B, C. Si prenda G, il numero minimo misurato da D, E, F (Prop.7-36). Pertanto G ha parti omonime a D, E, F (Prop.7-37). Ma A, B, C sono parti omonime aD, E, F, pertanto G ha le parti A, B, C.

Dico ora che le ha ed è anche minimo. Se, vi è un certo numero H minore di G che ha le parti A, B, C.

Poiché H ha le parti A, B, C, allora H è misurato da numeri omonimi alle parti A, B, C. Ma D, E, F sono numeri omonimi alle parti A, B, C, pertanto H è misurato da D, E, F (Prop.7-38). Ed è minore di G, il che è impossibile. Non si dà quindi il caso che esista un certo numero minore di G che ha le parti A, B, C.

   

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D, H
  3. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti E = D/A, F = D/B e G = DxExF

 

Chiariamo con un esempio: supponiamo di voler trovare il numero più piccolo con parti date, per esempio, un quarto o un sesto. Allora si prende il minimo comune multiplo tra le due parti, mcm(4,6)=12. Per questo numero 12 vi sono le parti indicate sia con 1/4, cioè 3, che come 1/6, cioè 2.