Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 37

Prop.37 Se un numero è misurato da un certo numero, allora il numero che è misurato ha una parte omonima al misurante
Dimostrazione
 

Sia il numero A misurato da un certo numero B: dico che A ha una parte omonima a B.

Quante volte infatti B misura A, tante unità sono in C. Poiché B misura A secondo le unità in C, e anche l'unità D misura il numero C secondo le unità in esso, allora l'unità D misura il numero C le stesse volte con cui B misura A.

Alternando quindi l'unità D misura il numero B e C misura A le stesse volte (Prop.7-15). Pertanto, qualunque parte l'unità D è del numero B, la stessa parte è anche C di A. Ma l'unità D è una parte del numero B omonima ad esso, anche C è quindi una parte di A omonimo a B, così che A ha una parte C che è omonima a B.

   

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C
  3. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento D = BxC/A

 

La proposizione afferma che se b divide a, allora a è una parte di b, cioè a/b. Per esempio, se 5 divide 15, allora 15 ha una terza parte.

La proposizione è utilizzata nell'ultima proposizione di questo Libro.