Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 36

Prop.36 Trovare il numero minimo che misura tre numeri dati
Dimostrazione
 

Siano A, B, C i tre numeri dati: si deve pertanto trovare il numero minimo che li misura.

Si prenda D il numero minimo misurato dai due numeri A e B (Prop.7-34). Allora C o misura D, oppure non lo misura.

In primo luogo, lo misuri. Ma anche A e B misurano D, pertanto A, B, C misurano D.

Dico ora che lo misurano anche come minimo. Se infatti no, A, B, C misurano un certo numero E minore di D. Poiché A, B, C misura E, allora A e B misurano E. Il minimo numero misurato da A e B misura quindi anche E (Prop.7-35). Ma D è il minimo numero misurato da A e B, pertanto D misura E, il maggiore il minore, il che è impossibile. A, B, C non misurano quindi un certo numero minore di D. Pertanto D è il minimo che A, B, C misurano.

Di nuovo, C non misuri ora D. Si prenda E, il minimo numero misurato da C e D (Prop.7-34). Poiché A e B misurano D, e D misura E, allora anche A e B misurano E. Ma anche C misura E, pertanto anche A, B, C misurano E.

   

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C
  3. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento D = AxB
  4. strumento Segmento: disegna il segmento E

 

 

Dico ora che è anche il minimo che misurano. Se infatti no, A, B, C misurano un certo numero FE minore di E. Poiché A, B, C misurano F, allora A e B misurano F. Il numero minimo misurato da A e B misura quindi anche F. Ma D è minimo numero misurato da A e B, pertanto D misura F. Ma anche C misura F, pertanto D e C misurano F, così che il minimo numero misurato da D e C misura anche F (Prop.7-35).

Ma E è il minimo numero misurato da C e D, pertanto E misura F, il maggiore il minore, il che è impossibile. A, B, C non misurano quindi un certo che è minore di E.

  Pertanto E è il minimo che è misurato da A, B, C.

 

 

La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C
  3. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti D = AxB e E = CxD
  4. strumento Segmento: disegna il segmento F

 

IIl minimo comune multiplo di tre numeri, mcm(a,b,c), può essere ottenuto applicando anche a questa operazione la proprietà associativa,

mcm(a,b,c) = mcm(a,mcm(b,c))

La proposizione è utilizzata nell'ultima proposizione di questo Libro.