Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 35

Prop.35 Se due numeri misurano un certo numero, allora il numero minimo misurato da essi misura anche lo stesso
Dimostrazione
 

I due numeri A e B misurino un ceto numero CD e sia E il minimo che essi misurano: dico che anche E misura CD.

Se E non misura CD, dia E, che misurando DF, come resto CF minore di se stesso.

E poiché A e B misurano E, ed E misura DF, allora anche A e B misurano DF. Ma essi misurano anche CD totale, pertanto essi misurano anche CF restante che è minore di E, il che è impossibile.

Non si dà quindi il caso che non misuri CD. Pertanto lo misura.

   

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, CD, E
  3. strumento Punto: segna il punto F su CD che lo divide in due segmenti

 

Supponiamo che a e b dividono c; sia e il loro minimo comune multiplo. Supponiamo ora che e non divida c. Allora sottraendo ripetutamente e da c si otterrà c = ke + f, dove il resto f è minore di e mentre k è un numero dato. Poichè a e b dividono entrambi c ed e, allora dividono anche f facendo di f un minimo comune multiplo più piccolo del minimo comune multiplo, ottenendo in tal modo una contraddizione.

La proposizione è utilizzata nel Libro VIII.