Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 34

Prop.34 Trovare il numero minimo che misura due numeri dati
Dimostrazione
 

Siano A e B i due numeri dati: si deve pertanto trovare il minimo numero che li misura. A e B o sono primi tra loro oppure non lo sono. Siano in primo luogo A e B primi tra loro.

Moltiplicando A per B si produce C. Allora B moltiplicato per A produce C

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  Pertanto A e B misurano C.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A e B
  3. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento C = AxB
  4. strumento Segmento: disegna il segmento D
  5. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti E = D/A, F = D/B

 

 

Dico ora che C è anche minimo. Se infatti no, allora A e B misurano un certo numero D minore di C.E quante volte A misura D, tante unità sono in E, quante volte B misura D, tante unità sono in F.

A moltiplicato per E produce D, e B moltiplicato per F produce D. Pertanto il prodotto di A e E è uguale al prodotto di B ed F. Pertanto A sta a B come F sta ad E (Prop.7-19). Ma A e B sono primi tra loro, e primi anche minimi (Prop.7-21), e i minimi misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto, il maggiore il maggiore e il minore il minore (Prop7-20); B misura quindi E come il conseguente il conseguente.

E poiché A moltiplicato per B e per E produce C e D, allora B sta ad E come C sta a D. Ma B misura E, pertanto anche C misura D, il maggiore il minore, il che è impossibile (Prop.7-17). Pertanto A e B non misurano un certo numero minore di C. Pertanto C è il minimo che è misurato da A e B.

A e B non siano ora primi tra loro. Si prendano F ed E, i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A e B (Prop.7-33). Pertanto il prodotto di A ed E è uguale al prodotto di B ed F (Prop.7-19). A moltiplicato per E produce C. Allora B moltiplicato per F produce C. Pertanto A e B misurano C.

Dico ora che C è anche minimo. Se infatti no, allora A e B misurano un certo numero D minore di C. E quante volte A misura D, tante unità siano in G, e quante volte B misura D, tante unità siano in H.

Allora A moltiplicato per G produce D, e B moltiplicato per H produce D. Pertanto il prodotto tra A e G è uguale al prodotto di B per H. Allora A sta a B come H sta a G (Prop.7-19). Ma A sta a B come F sta ad E. Pertanto F sta ad E come H sta a G.

Ma F ed E sono minimi, e i minimi misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto, il maggiore il maggiore il maggiore e il minore il minore, pertanto E misura G (Prop.7-20). E poiché A moltiplicato per E e per G produce C e D, pertanto E sta a G come C sta a D (Prop.7-17).

Ma E misura G, pertanto anche C misura D, il maggiore il minore, il che è impossibile.

  Pertanto A e B non misurano un certo numero minore di C. Pertanto C è il minimo che è misurato da A e B.

 

 

La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, F, D
  3. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento E = FxB/A
  4. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento C = AxE
  5. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti G = D/A, H = D/B

 

Il minimo comune multpiplo tra due numeri a e b è il più piccolo numero che è diviso da entrambi. Come noto, si indica come mcm(a, b). Questa proposizione lo costruisce come il prodotto dei due numeri diviso per il massimo comun divisore:

mcm(a,b) = ab/MCD(a,b)

La proposizione è utilizzata nella Prop.7-36 e nel Libro VIII.