Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 27

Prop.27 Se due numeri sono primi tra loro, e entrambi moltiplicati per se stessi danno un certo numero, allora i prodotti sono primi tra loro; e, se i numeri originari moltiplicati per i prodotti danno certi numeri, allora anche quelli saranno primi tra loro
Dimostrazione
 

Siano A e B due numeri primi tra loro, e A moltiplicato per se stesso produca C, e moltiplicato per C produca D, e B moltiplicato per se stesso produca E, e moltiplicato per E produca F: dico che C ed E sono primi tra loro, e che D e F sono primi tra loro.

Poiché A e B sono primi tra loro, e A moltiplicato per se stesso produce C, allora C e B sono primi tra loro (Prop.7-25). Poiché, dunque, C e B sono primi tra loro, e B moltiplicato per se stesso produce E, allora C ed E sono primi tra loro. Di nuovo, poiché A e B sono primi tra loro, e B moltiplicato per se stesso produce E, allora A ed E sono primi tra loro.

Poiché, quindi, i due numeri A e C sono primi rispetto ai due numeri B ed E, entrambi rispetto a uno e all'altro, allora il prodotto tra A e C è primo rispetto al prodotto tra B ed E. E il prodotto tra A e C è D, e il prodotto tra B ed E è F.

D ed F sono quindi primi tra loro.

  Pertanto, se due numeri sono primi tra loro, e entrambi moltiplicati per se stessi danno un certo numero, allora i prodotti sono primi tra loro; e, se i numeri originari moltiplicati per i prodotti danno certi numeri, allora anche quelli saranno primi tra loro.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = AxA, il segmento D = AxC, il segmento E = BxB e il segmento F = BxE

 

Questa proposizione afferma che se due numeri sono primi tra loro, allora i loro quadrati sono pure primi tra loro. Questa proprietà è estendibile a qualsiasi potenza dei due numeri. Cioè se 3 e 4 sono primi tra loro, allora 9 = 3x3 è primo rispetto a 16 = 4x4. Ogni fattore infatti si ripete nei due numeri, e ognuno di essi è primo rispetto al corrispondente fattore dell'altro numero.

La proposizione è utilizzata in due proposizioni del Libro VIII.