Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 26

Prop.26 Se due numeri sono primi rispetto a due numeri, entrambi ad ognuno, anche i loro prodotti sono primi tra loro
Dimostrazione
 

Siano A e B due numeri primi rispetto a due numeri C e D entrambi rispetto a uno e all'altro, e A moltiplicato per B produca E e C moltiplicato per D produca F: dico che anche E e F sono primi tra loro.

Poiché ciascuno dei numeri A e B è primo rispetto a C, allora anche il prodotto tra A e B è primo rispetto a C. Ma il prodotto tra A e B è E, pertanto E e C sono primi tra loro. Per gli stessi motivi E e D sono pure primi tra loro. Ciascuno dei numeri C e D è quindi primo rispetto ad E (Prop.7-24).

Anche il prodotto tra C e D è quindi primo rispetto ad E. Ma il prodotto tra C e D è F. Pertanto E ed F sono primi tra loro (Prop.7-24).

  Pertanto, se due numeri sono primi rispetto a due numeri, entrambi ad ognuno, allora anche i loro prodotti sono primi tra loro.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento E = AxB e il segmento F = CxD

 

Questa proposizione è utilizzata nella dimostrazione della proposizione successiva.