Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 25

Prop.25 Se due numeri sono primi tra loro, il prodotto di uno di essi con se stesso è primo rispetto al rimanente
Dimostrazione
 

Siano A e B due numeri primi tra loro e A moltiplicato per se stesso produca C: dico che anche B e C sono primi tra loro.

Si prenda D uguale ad A.

Poiché A e B sono primi tra loro, e A è uguale a D, allora anche D ed B sono primi tra loro. Ognuno dei due numeri D e A è quindi primo rispetto a B. Pertanto anche il prodotto di D con A è primo rispetto a B (Prop.7-24).

Ma il numero che è il prodotto di D e A è C. Pertanto C e B sono primi tra loro.

  Pertanto, se due numeri sono primi tra loro, allora il prodotto di uno di essi con se se stesso √® primo rispetto al rimanente.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = A
  4. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = AxA

 

Questa proposizione è un caso particolare della precedente, dove si considera il prodotto di un numero per se stesso.

La proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.