Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 23

Prop.23 Se due numeri sono primi tra loro, il numero che misura uno di essi è primo rispetto al restante
Dimostrazione
 

Siano A e B due numeri primi tra loro e un certo numero C misuri A: dico che anche C e B sono primi tra loro.

Se infatti non sono primi tra loro, allora un certo numero D misura C e B. Poiché D misura C, e C misura A, allora anche D misura A. Ma misura anche B; D misura pertanto A e B che sono primi tra loro, il che è impossibile (Prop.7-12).

Non si dà quindi il caso che un numero misuri i numeri C e B. C e B sono quindi primi tra loro.

  Pertanto, se due numeri sono primi tra loro, allora il numero che misura uno di essi √® primo rispetto al restante.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B sulle due rette
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = A/3 e il segmento D=B/3

 

Questa proposizione è utilizzata nella proposizione successiva.