Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 22

Prop.22 I numeri minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto sono primi tra loro
Dimostrazione
 

Siano A e B numeri minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto: dico che A e B sono primi tra loro.

Se infatti non sono primi tra loro, allora un certo numero C li misura. E quante volte C misura A, tante unità sono in D, e quante volte C misura B, tante unità siano in E.

Poiché C misura A secondo le unità in D, allora C moltiplicato per D produce A. Per gli stessi motivi C moltiplicato per E produce B. (Def.7-15). Pertanto il numero C moltiplicato per i due numeri D ed E produce A e B; D sta quindi a E come A sta a B (Prop.7-17).

D ed E sono quindi nello stesso rapporto con A e B, essendo minore di essi, il che è impossibile. Non si dà quindi il caso che un numero misuri i numeri A e B. (Prop.7-16).

  A e B sono quindi primi tra loro.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B sulle due rette
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento CD = parti di A
  4. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento EF = uguali parti di B
  5. strumento Segmento: disegna iil segmento E

 

Questa proposizione è l'inversa della precedente. Entrambe stabiliscono che un rapporto a:b è ridotto ai minimi termini se e solo se a e b sono primi tra loro.

Questa proposizione è utilizzata nel Libro VIII.