Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 21

Prop.21 I numeri primi tra loro sono minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto
Dimostrazione
 

Siano A e B numeri primi tra loro: dico che A e B sono i minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto.

Se infatti no, ci saranno certi numeri minori di A e B nello stesso rapporto con A e B. Siano C e D.

Poiché, dunque, i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto, il maggiore il maggiore, e il minore il minore, cioè, l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente, allora C misura A le stesse volte con cui D misura B (Prop.7-20).

Quante volte pertanto C misura A, tante unità sono in E. Allora anche D misura B secondo le unità in E. Poiché C misura A secondo le unità in E, allora anche E misura A secondo le unità in C. Per gli stessi motivi anche E misura B secondo le unità in D (Prop.7-16).

Pertanto E misura A e B che sono primi tra loro, il che è impossibile (Def.7-12).Non vi è quindi alcun numero minore di A e B che sta nello stesso rapporto con A e B.

  Pertanto, A e B sono i minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B sulle due rette
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento CD = parti di A
  4. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento EF = uguali parti di B
  5. strumento Punto Medio: segna i punti medi G e H dei segmenti CD e EF

 

Questa proposizione, insieme con la sua inversa, afferma che la condizione per avere un rapporto ridotto ai minimi termini è che i due numeri siano primi tra loro.

Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.