Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 20

Prop.20 I numeri minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto; il maggiore il maggiore e il minore il minore
Dimostrazione
 

Siano CD e EF i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A e B: dico che CD misura A le stesse volte con cui EF misura B.

CD non è infatti parti di A. Se possibile, sia. Anche EF è quindi le stesse parti di B quelle che CD è di A (Prop.7-13). Quante parti di A vi sono quindi in CD, tante parti di B sono anche in EF.

Si divida CD nelle parti di A, cioè CG e GD, e si divida EF nelle parti di B, cioè EH e HF. Allora la molteplicità di CG e GD è uguale alla molteplicità di EH e HF. E poiché i numeri CG e GD sono uguali tra loro, e anche i numeri EH e HF sono uguali tra loro, mentre la molteplicità di CG e GD è uguale alla molteplicità di EH e HF, allora CG sta a EH come GD sta a HF.

Poiché uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, allora CG sta a EH come CD sta a EF (Prop.7-12). CG e EH sono quindi nello stesso rapporto con CD e EF, essendo minore di essi, il che è impossibile, poiché CD e EF sono stati supposti essere i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con essi. CD non è quindi parti di A, è quindi parte (Prop.7-4).

E EF è la stessa parte di B quella che CD è di A; CD misura quindi A le stesse volte con cui EF misura B (Prop.7-13).

  Pertanto, i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto; il maggiore il maggiore e il minore il minore

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B sulle due rette
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento CD = parti di A
  4. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento EF = uguali parti di B
  5. strumento Punto Medio: segna i punti medi G e H dei segmenti CD e EF

 

Questa proposizione dice che dato un rapporto a:b, se c:d è lo stesso rapporto e il minimo tra tutti i rapporti con lo stesso rapporto, allora, c divide (misura) a, e d divide b, ma anche, c divide a le stesse volte con cui d divide b.

Questa proposizione affronta la possibilità di ridurre una frazione ai minimi termini, e cioè la minima dentro la classe di equivalenza che rappresenta il rapporto dato.

Un esempio: il rapporto 49:56 è lo stesso di 7:8, che è anche il minimo (la frazione 7/8 è quella ridotta ai minimi termini tra quelle che hanno lo stesso rapporto dato). Pertanto, 49 diviso 7 dà 7, così come 56 diviso 8 dà 7.

Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.