Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 18

Prop.18 Se due numeri moltiplicando un certo numero formano certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto di quelli che moltiplicano
Dimostrazione
 

Due numeri A e B moltiplicati per un certo numero C producano D ed E: dico che A sta a B come D sta ad E.

Poiché A moltiplicato C produce D, allora C moltiplicato per A produce D. Per gli stessi motivi anche C moltiplicato per B produce E (Prop.7-16).

Pertanto, il numero C moltiplicato per i due numeri A e B produce D ed E. A sta quindi a B come D sta ad E (Prop.7-17).

  Se quindi due numeri moltiplicando un certo numero formano certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto di quelli che moltiplicano.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = AxC e il segmento E = BxC

 

Laddove la proposizione precedente stabiliva che a : b = ma : mb.

a : b = am : bm

Insieme mostrano che l'ordine dei fattori è irrilevante; quanto affermato nella nota proprietà commutativa della molitlicazione.

Questa proposizione è utilizzata nella proposizione successiva e a volte nel Libro VIII.