Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 17

Prop.17 Se un numero moltiplicando due numeri forma certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto dei numeri moltiplicati
Dimostrazione
 

Il numero A moltiplicato per i due numeri B e C produca D e E: dico che B sta a C come D sta a E.

Poiché A moltiplicato B produce D, allora B misura D secondo le unità in A. Ma anche l'unità F misura il numero A secondo le unità in esso, pertanto l'unità F misura il numero A le stesse volte con cui B misura D (Def.7-20). L'unita F sta quindi al numero A come B sta a D.

Per gli stessi motivi l'unità F sta al numero A come C sta a E; B sta quindi a D come C sta a E.

Pertanto, alternando B sta a C come D sta a E (Prop.7-13).

  Se quindi un numero moltiplicando due numeri forma certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto dei numeri moltiplicati.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C, F
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = AxB/F e il segmento E = AxC/F; F è in questo caso l'unità per i segmenti

 

In notazione algebrica:

a : b = ma : mb

Questa proposizione è utilizzata frequentemente in questo libro e nel Libro IX.