Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 16

Prop.16 Se due numeri moltiplicandosi tra loro formano certi numeri, allora i numeri così prodotti sono uguali tra loro
Dimostrazione
 

Siano A e B due numeri, e A moltiplicato per B produca C, e B moltiplicato per A produca D: dico che C è uguale a D.

Poichè A moltiplicato per B produce C, allora B misura C secondo le unità in A. Ma anche l'unità E misura il numero A secondo le unità in esso; l'unità E misura quindi A le stesse volte con cui B misura C. Pertanto, alternando, l'unità E misura il numero B le stesse volte con cui A misura C (Prop.7-15).

Di nuovo, poiché B moltiplicato per A produce D, allora A misura D secondo le unità in B. Ma anche l'unità E misura B secondo le unità in esso; l'unità E misura quindi il numero B le stesse volte con cui A misuta D. Ma l'unità E misura il numero B le stesse volte con cui A misura C; A misura quindi ciascuno dei numeri C e D le stesse volte.

Pertanto, C è uguale a D.

  Se quindi un numero moltiplicando due numeri forma certi numeri, allora i numeri così prodotti hanno lo stesso rapporto dei numeri moltiplicati.

.

La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, E
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = AxB/E e il segmento D = C; E è in questo caso l'unità per i segmenti

 

La proposizione descrive in forma più esplicita la proprietà commutiva della moltiplicazione

ab = ba

Questa proposizione è utilizzata nella Prop.7-18.