Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 15

Prop.15 Se una unità misura un certo numero, e un altro numero misura un certo altro numero le stesse volte, allora alternando, l'unità misura il terzo numero la stessa quantità di volte che il secondo misura il quarto
Dimostrazione
 

Un'unità A misuri un certo numero BC, e un altro numero D misuri un certo altro numero EF le stesse volte: dico che anche alternando, l'unità misura il numero D le stesse volte quelle che BC misura EF.

Poiché l'unità A misura il numero BC le stesse volte con cui D misura EF, allora quante unità sono quindi in BC, tanti numeri sono quindi in anche in EF uguali a D.

Si divida BC nelle unità in esso, BG, GH, HC, e si divida EF in EK, KL, LF uguali a D. Allora la molteplicità di BG, GH, HC è uguale alla molteplicità di EK, KL, LF.

E poiché le unità BG, GH, HC sono uguali tra loro, e anche i numeri EK, KL, LF sono uguali tra loro, mentre la molteplicità delle unità BG, GH, HC è uguale alla molteplicità dei numeri EK, KL, LF, allora l'unità BG sta al numero EK come l'unità GH sta al numero KL, e come l'unità HC sta al numero LF.

Poiché uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedentu sta alla somma dei conseguenti, allora l'unità BG sta al numero EK come BC sta a EF (Prop.7-12). Ma l'unità BG è uguale all'unità A, e il numero EK è uguale al numero D. L'unità A sta quindi al numero D come BC sta a EF. L'unità A misura pertanto il numero D le stesse volte con cui BC misura EF.

  Se una unità misura quindi un certo numero, e un altro numero misura un certo altro numero le stesse volte, allora alternando, l'unità misura il terzo numero la stessa quantità di volte che il secondo misura il quarto.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna tre rette sulle quali collocare i segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A e D
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento BC = 3A e il segmento EF = 3D

 

Questa proposizione esprime la proprietà commutativa della moltiplicazione.

Se un numero e è uguale a b per d, cioè, 1 misura b lo stesso numero di volte che b misura d, allora anche e è uguale d per b. In notazione algebrica:

bd = db.

Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.