Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 14

Prop.14: Se quanti si voglia numeri, e altri uguali in molteplicità ad essi, che presi due a due sono nello stesso rapporto, allora essi sono anche nello stesso rapporto tramite uguale
Dimostrazione
 

Siano quanti si voglia numeri A, B, C, e altri uguali ad essi in molteplicità D, E, F, che presi due a due stanno nello stesso rapporto, così che A sta a B come D sta a E, e B sta a C come E sta a F: dico che anche tramite uguale A sta a C come D sta a F.

Poiché A sta a B come D sta a E, allora, alternando, A sta a D come B sta a E (Prop.7-13).

Di nuovo, poiché B sta a C come E sta a F, allora, alternando B sta a E come C sta a F. Ma B sta a E come A sta a D; A sta quindi a D come C sta a F. Pertanto, alternando, A sta a C come D sta a F.

  Se quindi quanti si voglia numeri, e altri uguali in molteplicità ad essi, che presi due a due sono nello stesso rapporto, allora essi sono anche nello stesso rapporto tramite uguale.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna tre rette sulle quali collocare i segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento E = BxD/A e il segmento F = CxE/B

 

Questa proposizione è l'analoga numerica della Prop.5-22, riguardante le relazioni tra grandezze. In notazione algebrica:

se x1:x2 = y1:y2, x2:x3 = y2:y3, ... , e xn-1:xn = yn-1:yn, allora x1:xn = y1:yn.

Questa proposizione è utilizzata nel Libro VIII.