Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 13

Prop.13: Se quattro numeri sono in proporzione, allora essi sono anche in proporzione alternata
Dimostrazione
 

Siano quattro numeri A, B, C, D in proporzione, così che A sta a B come C sta a D: dico che anche alternando sono proporzionali, così che A sta a C come B sta a D.

Poiché A sta a B come C sta a D, allora A è la stessa parte o parti di B come C lo è di D (Def.7-20).

Alternando quindi, A è la stessa parte o parti di C come B lo è di D (Prop.7-10). A sta quindi a C come B sta a D (Def.7-20).

  Se quindi quattro numeri sono in proporzione, allora essi sono anche in proporzione alternata.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = BxC/A

 

Questa proposizione è analoga alla Prop.5-16, relativa alle relazioni tra grandezze.

In notazione algebrica,

se a : b = c : d, allora a : c = b : d

Questa è la ben nota proprietà delle proporzioni, che consente lo scambio tra i due medi.

Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.