Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 12

Prop.12: Se quanti si voglia numeri sono in proporzione, allora uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti
Dimostrazione
 

Siano A, B, C, D quanti si voglia numeri in proporzione, così che A sta a B come C sta a D: dico che A sta a B come la somma di A e C sta alla somma di B e D.

Poiché A sta a B come C sta a D, allora A è la stessa parte o parti di B come C lo è di D. La somma di A e C è quindi la stessa parte o parti della somma si B e D quella che A è di B (Prop.7-5, Prop.7-6).

Pertanto A sta a B come la somma di A e C sta alla somma di B e D (Def.7-20).

  Se quanti si voglia numeri sono quindi in proporzione, allora uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A, B, C
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = BxC/A

 

In notazione algebrica,

x1:y1 = x2:y2 = ... = xn:yn

allora vale anche

(x1 +  x2 + ... + xn) : (y1 + y2 + ... +yn).

Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.