Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 11

Prop.11: Se un totale sta a un totale come un numero sottratto sta a un numero sottratto, allora il restante sta al restante come il totale sta al totale
Dimostrazione
 

Stia AB totale a CD totale come AE sottratto sta a CF sottratto: dico che EB restante sta a FD restante come AB totale sta a CD.

Poiché AB sta a CD come AE sta a CF, allora AE è la stessa parte o parti di CF come AB lo è di CD. Pertanto EB restante è la stessa parte o parti di FD quella che AB è di CD (Prop.7-7, Prop.7-8).

Pertanto EB sta a FD come AB sta a CD (Def.7-20).

  Se quindi un totale sta a un totale come un numero sottratto sta a un numero sottratto, allora il restante sta al restante come il totale sta al totale.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette sulle quali collocare i due segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti AB, Cd e AE
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento CF = CDxAE/AB

 

Questa proposizione è l'analoga numerica (non per grandezze) della proposizione Prop.5-19.

In notazione algebrica,

se a:c = e:f, allora (a – e):(c – f) = a:c.

Questa proposizione è utilizzata nel Libro IX.