Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO VII

 

PROPOSIZIONE 10

Prop.10: Se un numero è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, anche alternando, qualunque parte delle parti il primo è del terzo, la stessa parte, o le stesse parti, il secondo è del quarto
Dimostrazione
 

Sia il numero A una parte del numero BC, e un altro numero D sia la stessa parte di un altro numero EF quella che A è di BC: dico che alternando, BC è la stessa parte o parti di EF quella che A è di D.

Poiché D è la stessa parte di EF quella che A è di BC, allora quanti numeri vi sono in BC uguali ad A tanti ve ne sono anche in EF uguali a D.

Si divida BC nei numeri uguali ad A, cioè BG e GC, e si divida EF in quele uguali a D, cioè EH e HF. Allora la molteplicità di BG e GC è uguale alla molteplicità di EH e HF.

E poiché i numeri BG e GC sono uguali tra loro, e anche i numeri EH e HF sono uguali tra loro, mentre la molteplicità di BG e GC è uguale alla molteplicità di EH e HF, allora GC è la stessa parte o parti di HF quella che BG è di EH, così che, inoltre, la somma BC è la stessa parte o parti della somma EF quella che BG è di EH (Prop.7-5 e Prop.7-6).

Ma BG è uguale ad A, ed EH è uguale a D; BC è quindi la stessa parte o parti di EF quella che A è di D.

  Se quindi un numero è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, anche alternando, qualunque parte delle parti il primo è del terzo, la stessa parte, o le stesse parti, il secondo è del quarto.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i quattro segmenti
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti A e D
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento BC = 2A e il segmento EF = 2D

 

In questa proposition, Euclide mostra che

se a = (m/n)b, e d = (m/n)e, e se a = (p/q)d, allora b = (p/q)e

Il valore preso come esempio per m/n nella dimostrazione è 2/3.

Questa proposizione è utilizzata nella (Prop.7-13).