Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IV

 

PROPOSIZIONE 9

 

Prop.9: Intorno al quadrato dato circoscrivere un cerchio
Dimostrazione
 

Sia dato il quadrato ABCD: intorno al quadrato ABCD si deve pertanto circoscrivere un cerchio.

Si congiungano AC e BD, e si sechino tra loro in E.

E poiché DA è uguale a AB, e AC è in comune, i due lati DA e AC sono quindi uguali ai due lati BA e AC, e la base DC è uguale alla base BC, l'angolo DAC è quindi uguale all'angolo BAC (Prop.1-8). Pertanto l'angolo DAB è secato a metà da AC. Analogamente si può dimostrare che ciascuno degli angoli ABC, BCD, e CDA è secato a metà dalle rette AC e DB.

E poiché l'angolo DAB è uguale all'angolo ABC, e l'angolo EAB è la metà dell'angolo DAB, e l'angolo EBA è la metà dell'angolo ABC, allora anche l'angolo EAB è uguale all'angolo EBA, così che anche il lato EA è uguale a EB (Prop.1-6). Analogamente si può dimostrare che anche le rette EA e EB sono rispettivamente uguali alle rette EC e ED. Pertanto le quattro rette EA, EB, EC, e ED sono uguali tra loro.

Il cerchio tracciato di centro E e raggio una delle rette EA, EB, EC, o ED passa quindi anche per i restanti punti, e risulta circoscritto al quadrato ABCD. Il cerchio tracciato di centro E e raggio una delle rette EA, EB, EC, o ED è quindi circoscritto intorno al quadrato ABCD. Risulti circoscritto come ABCD.

  Intorno al quadrato dato risulta quindi circoscritto un cerchio.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Poligono Regolare: disegna il quadrato ABCD
  2. strumento Segmento: disegna le diagonali AC e BD del quadrato che si intersecano in E
  3. strumento Circonferenza: disegna il cerchio di centro E e raggio AE